Kombinatorika | 7 |
Permutáció | 7 |
Ismétlés nélküli permutáció | 7 |
Ismétléses permutáció | 9 |
Variáció | 10 |
Ismétlés nélküli variáció | 10 |
Ismétléses variáció | 12 |
Kombináció | 13 |
Ismétlés nélküli kombináció | 13 |
Ismétléses kombináció | 14 |
A kombinációs számok tulajdonságai | 16 |
A binomiális tétel | 17 |
Mintapéldák | 19 |
Eseményalgebra | 22 |
Alapfogalmak | 22 |
Relációk események között | 23 |
Egyenlőség | 23 |
"Részhalmaz reláció" | 23 |
Alapműveletek | 23 |
Binér műveletek | 23 |
Egyesítés | 23 |
Közös rész képzés | 24 |
Unáris műveletek | 24 |
Komplementer képzés | 24 |
Az alapműveletek azonosságai | 25 |
További műveletek | 25 |
További műveleti azonosságok | 26 |
De Morgan azonosság | 26 |
További fogalmak, tételek | 26 |
Klasszikus valószínűség-számítás | 29 |
A valószínűség fogalma és axiómái | 29 |
A valószínűség-számítás axiómái | 29 |
Az axiómákból következő tételek | 30 |
Mintavételi feladatok | 33 |
Visszatevés nélküli mintavétel | 33 |
Visszatevéses mintavétel | 34 |
A feltételes valószínűség | 36 |
Két esemény szorzatának valószínűsége | 37 |
A teljes valószínűség tétele | 37 |
Bayes-tétel | 39 |
Az események függetlensége | 40 |
Független kísérletsorozat Bernoulli-féle képlete | 42 |
Valószínűségi változók | 44 |
Alapfogalmak | 44 |
Az eloszlásfüggvény | 46 |
Az eloszlásfüggvény tulajdonságai | 48 |
A sűrűségfüggvény | 50 |
A sűrűségfüggvény tulajdonságai | 52 |
Valószínűség-eloszlások a gyakorlatban | 54 |
Diszkrét eloszlások | 54 |
Egyenletes eloszlás | 54 |
Hipergeometrikus eloszlás | 55 |
Binomiális eloszlás | 56 |
Poisson-eloszlás | 57 |
Geometriai eloszlás | 59 |
A karakterisztikus eloszlás | 60 |
Folytonos eloszlások | 61 |
Egyenletes eloszlás | 61 |
Exponenciális eloszlás | 62 |
Normális eloszlás | 64 |
A valószínűségi változó jellemzői | 67 |
A várható érték | 67 |
A szórás | 69 |
A módusz, a medián és a kvantilisek | 71 |
A módusz | 71 |
A medián | 72 |
A kvantilisek | 73 |
Néhány konkrét valószínűség-eloszlás jellemzői | 74 |
Diszkrét eloszlások | 74 |
Egyenletes eloszlás | 74 |
Hipergeometriai eloszlás | 74 |
Binomiális eloszlás | 75 |
Poisson-eloszlás | 76 |
Geometriai eloszlás | 77 |
Karakterisztikus eloszlás | 78 |
Folytonos eloszlások | 78 |
Egyenletes eloszlás | 78 |
Exponenciális eloszlás | 80 |
Normális eloszlás | 81 |
A nagy számok törvényei | 83 |
A Markov-egyenlőtlenség | 83 |
A Csebisev-egyenlőtlenség | 84 |
A nagy számok törvénye binomiális eloszlásra (a Bernoulli-féle alak) | 85 |
Kétdimenziós eloszlások | 89 |
A kétdimenziós eloszlás megadása | 89 |
Diszkrét kétdimenziós eloszlás | 89 |
Folytonos kétdimenziós eloszlás | 92 |
Nevezetes kétdimenziós folytonos valószínűség-eloszlások | 93 |
Kétdimenziós eloszlásfüggvény | 94 |
Az együttes eloszlásfüggvény tulajdonságai | 96 |
Az együttes eloszlásfüggvény és az együttes sűrűségfüggvény kapcsolata | 96 |
Perem-eloszlásfüggvények | 99 |
A kétdimenziós valószínűségi változók jellemzői | 104 |
Kovariancia és korrelációs együttható | 104 |
Két valószínűségi változó további kapcsolatai | 108 |
Feltételes valószínűség-eloszlás, feltételes sűrűségfüggvény | 108 |
Függetlenség | 110 |
Regresszió | 112 |
A valószínűség-számítás a tudományok egyik legősibb, ugyanakkor legfiatalabb ága. Az ember ugyanis kezdetektől fogva tudni akart valami biztosat a bizonytalanról, a véletlenszerűen bekövetkező eseményekről. Hírneves és hírhedt „tudós” jósok próbáltak jövendölni, szerencsejátékosok számolgatták évszázadok óta a nyerési esélyeiket, különböző tudományterületek képviselői kutatták a a véletlentől függő (szochasztikus) folyamatokat és találtak is bizonyos szabályszerűségeket. Igazi nagy tudományos eredmények a valószínűségek kiszámolására, az elméleti összefüggések felvételére csak a 20. században születtek. 1933-ban Kolmogorov orosz matematikus megadta a valószínűség-számítás axiómáit, amelyekre azóta egy rendkívül szerteágazó elmélet épült és fejlődik jelenleg is, valamint jelentős gyakorlati alkalmazások bizonyították az elmélet helyességét. Világszerte elismert kutatásokkal gazdagították a valószínűség-számítást magyar matematikusok is, mint például Jordán Károly és Rényi Alfréd.
A valószínűség-számítás két nagyobb részre bontható. A klasszikus valószínűség-számítás eredményeinek nagy része ismert volt az axiomatizálás előtt is. Ide tartoznak a kombinatorika egyszerűbb összefüggései, a Boole-algebra eseményekre történő alkalmazása, valamint a számolásokban gyakran használt képlet, amely szerint úgy kapjuk meg egy esemény valószínűségét, hogy a kedvező esetek számát elosztjuk az észlelt összes eset számával. Az axiómákra építve a klasszikus valószínűség-számítás egységes rendszerben tárgyalható. A valószínűségi változók bevezetése lényegében a sztochasztikus folyamatok leírásában a „függvényesítést” jelenti. Ezzel a függvénytan apparátusát vetjük be a véletlenek matematikájába és kapunk érdekes elméleti, valamint jól alkalmazható gyakorlati eredményeket. A fentiekből is következően a valószínűség-számítás alapjainak elsajátításához szükségünk lesz a kombinatorika, az eseményalgebra tárgyalására, a függvénytani ismeretekre, jó számolókészségre valamint a problémamegoldáshoz a feladatok modellezésére, a saját józan eszünkre. A valószínűség-számítás eredményeit egyre inkább használják a különböző szaktudományokban, különösen a közgazdasági és műszaki területeken. |